Deep Reinforcement Learning with Double Q-learning
Google DeepMind
Abstract
主流的 Q-learning 算法过高的估计在特定条件下的动作值。实际上，之前是不知道是否这样的过高估计是 common的，是否对性能有害，以及是否能从主体上进行组织。本文就回答了上述的问题，特别的，本文指出最近的 DQN 算法，的确存在在玩 Atari 2600 时会 suffer from substantial overestimations。本文提出了 double Q-learning algorithm 可以很好的降低观测到的 overestimation 问题，而且在几个游戏上取得了更好的效果。
Introduction
强化学习的目标是对序列决策问题能够学习到一个好的策略，通过优化一个累计未来奖励信号。Q-learning 是最著名的 RL 学习算法之一，但是由于其在预测动作值的时候包含一个最大化的步骤，所以导致会出现过高的预测值，使得学习到不实际的高动作值。
在之前的工作中，将 overestimation 的问题归咎于 不够灵活的函数估计 以及 noise。本文统一了这些观点，并且表明 当动作值预测的不准确的时候，就会出现 overestimation，而不管估计误差的来源。当然，在学习的过程中，出现不准确的值估计也是正常的，这也说明 overestimation 可能比之前所看的情况更加普遍。
如果overestimation 的确出现，那么这个开放的问题的确会影响实际的性能。过于优化的值估计在一个问题中是不必要的，如果所有的值都比相对动作参考要均匀的高被保存了，那么我们就不会相信得到的结果策略会更差了。此外，有时候 optimistic 是一件好事情：optimistic in the face of uncertainty is a well-known exploration technique. 然而，如果当预测并且均匀，不集中在 state上，那么他们可能对结果的策略产生坏的影响。Thrun 等人给出了特定的例子，即：导致次优的策略。
为了测试在实际上是否会出现 overestimation，我们探讨了最近 DQN 算法的性能。关于 DQN 可以参考相关文章，此处不赘述了。可能比较奇怪的是，这种 DQN设置 仍然存在过高的估计动作的 value 这种情况。
作者表明，在 Double Q-learning算法背后的idea，可以很好的和任意的函数估计相结合，包括神经网络，我们利用此构建了新的算法，称: Double DQN。本文算法不但可以产生更加精确的 value estimation，而且在几个游戏上得到了更高的分数。这样表明，在 DQN上的确存在 overestimation 的问题，并且最好将其降低或者说消除。
Background
为了解决序列决策问题，我们学习对每一个动作的最优值的估计，定义为：当采取该动作，并且以后也采用最优的策略时，期望得到的将来奖励的总和。在给定一个策略 $\pi$ 之后，在状态 s下的一个动作 a 的真实值为：
$Q_{\pi}(s, a) = E[R_1 + \gamma R_2 + ... | S_0 =s, A_0 = a, \pi]$，
最优的值就是 $Q_*(s, a) = max_{\pi} Q_{\pi}(s, a)$。一个优化的策略就是从每一个状态下选择最高值动作。
预测最优动作值 可以利用 Q-learning算法。大部分有意思的问题都无法在所有状态下都计算出其动作值。相反，我们学习一个参数化的动作函数 Q(s, a; \theta_t)。在状态St下，采取了动作 $A_t$之后标准的 Q-learning 更新，然后观测到奖励 $R_{t+1}$以及得到转换后的状态 $S_{t+1}$：
其中，目标 $Y_t^Q$ 的定义为：
这个更新非常类似于随机梯度下降，朝向 target value $Y^Q_t$ 更新当前值 Q（S_t, A_t; \theta_t）。
Deep Q-Networks.
一个DQN是一个多层的神经网络，给定一个状态 s，输出一个动作值的向量 $Q(s, *; \theta)$，其中，$\theta$ 是网络的参数。对于一个 n维 的状态空间，动作空间是 m 个动作，神经网络是一个函数将其从 n维空间映射到 m维。两个重要的点分别是 target network 的使用 以及 experience replay的使用。target network，参数为 $\theta^-$，和 online的网络一样，除了其参数是从 online network 经过 某些 steps之后拷贝下来的。目标网络是：
对于 experience replay，观测到的 transitions 都被存贮起来，并且随机的从其中进行采样，用来更新网络。target network 和 experience replay 都明显的改善了最终的 performance。
Double Q-learning
在标准的 Q-learning 以及 DQN 上的 max operator，用相同的值来选择和评价一个 action。这使得其更偏向于选择 overestimated values，导致次优的估计值。为了防止此现象，我们可以从评价中将选择独立出来，这就是 Double Q-learning 背后的 idea。
在最开始的 Double Q-learning算法中，通过随机的赋予每一个 experience 来更新两个 value functions 中的一个 来学习两个value function，如此，就得到两个权重的集合，$\theta$ 以及 $\theta '$。对于每一次更新，其中一个权重集合用来决定贪婪策略，另一个用来决定其 value。做一个明确的对比，我们可以首先排解 selection 和 evaluation，重写公式2，得到：
那么， Double Q-learning error可以写为：
注意到 action 的选择，在 argmax，仍然属于 online weights $\theta_t$。这意味着，像 Q-learning一样，我们仍然可以根据当前值，利用贪婪策略进行 value 的估计。然而，我们利用第二个权重 $\theta _t '$来更加公平的评价该策略。第二个权重的集合，可以通过交换 两个权重的角色进行更新。
OverOptimism due to estimation errors: