托勒密定理 ac+bd=mn
1.对角互补的四边形为什么一定有外接圆？
2.已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）
证明：用反证法
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内，
若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，
∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
3. 求证：四边形ABCD有外接圆的充要条件是S=√((p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d))其中a,b,c,d为四边形的四条 边长,p为周长一半。
在四边形ABCD中，，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，设p=1/2（a+b+c+d），∠A+∠C=2θ，四边形面积为S
∵S△ABD=1/2ad×sinA
S△BCD=1/2bc×sinC
∴S=1/2adsinA+1/2bcsinC
4S²=（ad×sinA+bc×sinC）²
而BD²=a²+d²-2ad×cosA
=b²+c²-2bc×cosC
∴ad×cosA-bc×cosC=1/2（b²+c²-a²-d²）
故4S²+1/4（b²+c²-a²-d²）²
=（ad×sinA+bc×sinC）²+（ad×cosA-bc×cosC）²
=a²d²+b²c²-2abcd×cos2θ (2θ=A+C)
=a²d²+b²c²-2abcd（2cos²θ-1）
=（ad+bc）²-4abcd×cos²θ
于是 16S²=4（ad+bc）²-（b²+c²-a²-d²）²-4abcd×cos²θ
=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-16abcd×cos²θ
∴S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd×cos²θ]
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参考文献《俄罗斯平面几何问题集》哈尔滨工业大学出版社。
合肥工业大学翡翠湖校区
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王东（230601）