在线性弹性时, 证明各向同性材料, 强椭圆性条件 (5. 6) 等价于 Lam\'e 常数满足 $$\bex \mu>0,\quad \lm+2\mu>0. \eex$$
证明:
(1) 对各向同性材料, $$\beex \bea a_{ijkl}&=\lm\delta_{ij}\delta_{kl} +\mu\sex{\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}},\\ \sum_{i,j,k,l}a_{ijkl}\xi_i\xi_k\eta_j\eta_l &=\lm\sum_i\xi_i\eta_i\cdot \sum_k\xi_k\eta_k +\mu\sum_i\xi_i^2\cdot\sum_j\eta_j^2 +\mu\sum_i\eta_i\eta_i\cdot \sum_k\xi_k\eta_k\\ &=(\lm+\mu)({\bf \xi}\cdot{\bf\eta})^2+ \mu|{\bf \xi}|^2\cdot |{\bf\eta}|^2. \eea \eeex$$
(2) $\la$: 若 $\lm+\mu\geq 0$, 则 $$\bex \sum_{i,j,k,l}a_{ijkl}\xi_i\xi_k\eta_j\eta_l\geq\mu|{\bf \xi}|^2\cdot |{\bf\eta}|^2; \eex$$ 若 $\lm+\mu<0$, 则 $$\beex \bea \sum_{i,j,k,l}a_{ijkl}\xi_i\xi_k\eta_j\eta_l &\geq (\lm+\mu)\sex{|{\bf \xi}|\cdot|{\bf\eta}|}^2 +\mu|{\bf \xi}|^2\cdot |{\bf\eta}|^2\\ &=(\lm+2\mu) |{\bf \xi}|^2\cdot |{\bf\eta}|^2. \eea \eeex$$
(3) $\ra$: 取 $$\bex {\bf \xi}=(1,0,0)^T,\quad{\bf\eta}=(0,1,0)^T, \eex$$ 则 $$\bex \sum_{i,j,k,l}a_{ijkl}\xi_i\xi_k\eta_j\eta_l=\mu>0. \eex$$ 取 $$\bex {\bf \xi}={\bf\eta}=(1,0,0)^T, \eex$$ 则 $$\bex \sum_{i,j,k,l}a_{ijkl}\xi_i\xi_k\eta_j\eta_l =\lm+2\mu>0. \eex$$