1. ($5'$) 利用 $\ve-N$ 语言证明 $$\bex \vlm{n}\frac{2015\cdot 2^n+20\sin n}{n!}=0. \eex$$
证明: 对 $\forall\ \ve>0$, 取 $$\bex N=\sez{\frac{4050}{\ve}}+1, \eex$$ 则当 $n\geq N$ 时, $$\bex \sev{\frac{2015\cdot 2^n+20\sin n}{n!}} \leq \frac{2015\cdot 2\cdots 2}{n(n-1)\cdots 1} +\frac{20}{n!} \leq \frac{4030}{n} +\frac{20}{n}=\frac{4050}{n}<\ve. \eex$$
2. ($10'$) 求极限: $$\bex \lim_{x\to +\infty}\frac{x^{2015}}{e^x},\quad \lim_{x\to 0^+}x^{x^x-1}. \eex$$
解答:
(1). 不断使用 L'Hospital 法则, 得结果 $=0$.
(2). $$\beex \bea \mbox{原极限} &=\exp\sez{\lim_{x\to 0^+}(x^x-1)\ln x} =\exp\sed{\lim_{x\to 0^+}\sez{\exp(x\ln x)-1}\ln x}\\ &=\exp\sex{\lim_{x\to 0^+}x\ln x\cdot \ln x}=1. \eea \eeex$$
3. ($10'$) 设连续函数 $f(x)$ 满足 $$\bex \sup_{x,y\in\bbR}|f(x+y)-f(x)-f(y)|<\infty, \eex$$ 而且 $$\bex \vlm{n}\frac{f(n)}{n}=2015. \eex$$ 请证明: $$\bex \sup_{x\in\bbR} |f(x)-2015 x|<\infty. \eex$$
证明: 这个我已经在家里蹲大学数学杂志第5卷第298期丘成桐大学生数学竞赛2014年分析与方程个人赛试题参考解答[4140--4146] 第一题中给出了证明.
4. ($10'$) 在 $[0,1]$ 上构造一个实函数 $f(x)$, 使得它在 $[0,1]$ 上递增, 在所有的有理点上都不连续而且满足 $f(0)=0$ 和 $f(1)=1$.
解答: 设 $(0,1)\cap \bbQ=\sed{r_1,r_2,r_3,\cdots}$, 则取 $$\bex f(x)=\sedd{\ba{ll} 0,&x=0,\\ \sum_{r_n<x}\frac{1}{2^n},&0<x<1,\\ 1,&x=1. \ea} \eex$$
5. ($10'$) 函数 $f(x)$ 的 Taylor 公式 (Lagrange 余项) 为 $$\bee\label{389_5_eq} f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi_n)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, \eee$$其中 $\xi_n$ 介于 $x_0$ 和 $x$ 之间. 如果 $f^{(n+2)}(x_0)\neq 0$, 请证明 $$\bex \lim_{x\to x_0}\frac{\xi_n-x_0}{x-x_0}=\frac{1}{n+2}. \eex$$
证明: 将 \eqref{389_5_eq} 与下式 $$\bex f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} +\frac{f^{(n+2)}(x_{n+1})}{(n+2)!}(x-x_0)^{n+2} \eex$$ 比较有 (由 Lagrange 中值定理) $$\bex f^{(n+2)}(\eta_n)\frac{\xi_n-x_0}{x-x_0} =\frac{f^{(n+1)}(\xi_n)-f^{(n+1)}(x_0)}{x-x_0} =\frac{f^{(n+2)}(\xi_{n+1})}{n+2}. \eex$$ 令 $n\to\infty$ 既有结论.
6. ($15'$) 计算不定积分 $$\bex \int e^{-2x}\sin 5x\rd x,\quad \int \frac{\cos ^3x}{\sin^4x}\rd x,\quad \int \frac{2x^3+x^2+2x-1}{x^4-1}\rd x. \eex$$
解答:
(1). 把 $e^{-x}$ 拉到微分里去, 分部积分两次得 $$\bex \int e^{-2x}\sin 5x\rd x =-\frac{1}{26}e^{-x}(\sin 5x+5\cos 5x). \eex$$
(2). $$\beex \bea \int \frac{\cos^3x}{\sin^4x}\rd x &=\int \frac{\sex{\frac{1-t^2}{1+t^2}}^3}{\sex{\frac{2t}{1+t^2}}^4}\cdot \frac{2}{1+t^2}\rd t\quad\sex{\tan \frac{x}{2}=t}\\ &=\frac{1}{8}\int\frac{(1-t^2)^3}{t^4}\rd t\\ &=\frac{1}{8}\int \frac{1-3t^2+3^4-t^6}{t^4}\rd t\\ &=\frac{1}{8}\int t^{-4} -3t^{-2} +3-t^2\rd t\\ &=\frac{1}{8} \sex{ -\frac{1}{3}t^{-3} +3t^{-1} +3t-\frac{1}{3}t^3 }+C\\ &=-\frac{1}{24}\cot^3\frac{x}{2} +\frac{3}{8}\cot\frac{x}{2} +\frac{3}{8}\tan \frac{x}{2} -\frac{1}{24}\tan^3\frac{x}{2}+C. \eea \eeex$$
(3). $$\beex \bea \int \frac{2x^3+x^2+2x-1}{x^4-1}\rd x &=\int \frac{2x^2(x+1)-(x^2-2x+1)}{x^4-1}\rd x\\ &=\int \frac{2x^2}{(x^2+1)(x-1)}\rd x -\int \frac{x-1}{(x^2+1)(x+1)}\rd x\\ &=\int \frac{x+1}{x^2+1} +\frac{1}{x-1}\rd x -\int \frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{x+1}\rd x\\ &=\int \frac{1}{1+x^2} +\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\rd x\\ &=\arctan x+\ln |x^2-1|+C. \eea \eeex$$
7. ($15'$) 计算 Riemann 积分: $$\bex \int_1^{\pi+1}\sin^2x\rd x,\quad \int_0^1 (1-x^2)^{2015}\rd x,\quad \int_0^{\pi/2} \sin x\sin 2x\sin 3x\rd x. \eex$$
解答:
(1). $$\bex \int_1^{\pi+1}\sin^2x\rd x =\int_1^{\pi+1}\frac{1-\cos 2x}{2}\rd x =\frac{\pi}{2}. \eex$$
(2). 设 $$\bex I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^nx\rd x, \eex$$ 则 $$\beex \bea I_n&=\int_0^{\pi/2} \cos^{n-2}(1-\sin^2x)\rd x\\ &=I_{n-2} +\int_0^{\pi/2}\sin x\rd \frac{\cos^{n-1}x}{n-1}\\ &=I_{n-2} -\int_0^{\pi/2} \cos x\frac{\cos^{n-1}x}{n-1}\rd x. \eea \eeex$$ 于是 $$\bex I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\ra I_{2n+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}, \eex$$ $$\beex \bea \int_0^1(1-x^2)^{2015}\rd x &=\int_0^{\pi/2} \cos^{4031}x\rd x\quad\sex{x=\sin t}\\ &=\frac{4030!!}{4031!!}\\ \eea \eeex$$
(3). $$\beex \bea \int \sin x\sin 2x\sin 3x\rd x &=\int \frac{1}{2}[\cos x-\cos 3x]\sin 3x\rd x\\ &=\frac{1}{4}\int (\sin 4x+\sin 2x)-\sin 6x\rd x\\ &=\frac{1}{4}\sex{-\frac{\cos 4x}{4} -\frac{\cos 2x}{2} +\frac{\cos 6x}{6}}|_{x=0}^{x=\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{1}{6}. \eea \eeex$$
8. ($10'$) 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续可微且 $f(a)=0$. 证明不等式 $$\bex \sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|\leq (b-a)\int_a^b |f'(x)|^2\rd x. \eex$$
证明: $$\bex |f(x)|^2 =\sev{f(x)-f(a)}^2 \leq \sex{\int_a^x |f'(t)|\rd t}^2 \leq (b-a)^2\int_a^x |f'(t)|^2\rd t. \eex$$
9. ($10'$) 令 $$\bex A_n=\sum_{k=1}^n \ln(k+1), \eex$$ 证明级数 $\dps{\vsm{n}\frac{1}{A_n}}$ 发散.
证明: 由 $$\beex \bea A_n&=\sum_{k=1}^n\ln(k+1) \leq \sum_{k=1}^n\int_{k+1}^{k+2}\ln x\rd x =\int_2^{n+2}\ln x\rd x\\ &\leq \int_1^{n+2} \ln x\rd x=(n+2)\ln (n+2)-(n+1), \eea \eeex$$ $$\bex \frac{\frac{1}{A_n}}{\frac{1}{(n+2)\ln (n+2)}} \geq \frac{(n+2)\ln(n+2)}{(n+2)\ln(n+2)-(n+1)} =\frac{1}{1-\frac{n+1}{n+2}\frac{1}{\ln(n+2)}} \to 1\quad\sex{n\to\infty} \eex$$ 及比较判别法知原级数发散.
10. ($5'$) 计算反常积分 $$\bex \int_0^\infty \frac{\ln x}{(1+x^{\ln x})x}\rd x. \eex$$
解答: $$\bex \mbox{原积分} =\int_0^\infty \frac{\ln x}{1+x^{\ln x}}\rd (\ln x) =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{1+e^{t^2}}\rd t =0. \eex$$
题目来源于袁亚湘老师的人人网.