hdu 3658 How many words

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思路: 递推+矩阵快速幂

分析:

1 题目的意思是在52个英文字母里面选择m个字母组成一个字符串，满足以下两个条件。第一是相邻的两个字符的ASCLL码的绝对值小于等于32，第二至少要有一对的字符的绝对值为32

2 那么不考虑第二个条件的时候，我们可以求出所有的符合的个数。假设f(n)(j)表示的是前n个字符最后一个字符为j，那么我们可以求出所有满足第一个条件的所有个数。因为至少需要有一对相邻的字符的绝对值为32，那么我们只要把第一次求出的所有的个数减去“相邻的两个字符的ASCLL码的绝对值小于等于31”的即可

3 那么我们考虑“相邻的两个字符的ASCLL码的绝对值小于等于32”这种情况，f(n)(j) = Σ(f(n-1)(k)) , abs(j-k) <= 32

  那么我们可以构造出如下的矩阵

4 那么相邻的两个字符的ASCLL码的绝对值小于等于31就和上面的类似

代码:

/************************************************
 * By: chenguolin                               *
 * Date: 2013-08-31                             *
 * Address: http://blog.csdn.net/chenguolinblog *
 ************************************************/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long int64;
const int MOD = 1e9+7;
const int N = 52; 

struct Matrix{
    int64 mat[N][N];
    Matrix operator*(const Matrix &m)const{
        Matrix tmp;
        for(int i = 0 ; i < N ; i++){
            for(int j = 0 ; j < N ; j++){
                tmp.mat[i][j] = 0;
                for(int k = 0 ; k < N ; k++)
                    tmp.mat[i][j] += mat[i][k]*m.mat[k][j]%MOD;
                tmp.mat[i][j] %= MOD;
            }
        }
        return tmp;
    }
};

void init(Matrix &m1 , Matrix &m2){
    // m1
    memset(m1.mat , 0 , sizeof(m1.mat));
    int x = 25;
    for(int i = 0 ; i < 26 ; i++){
        x++;
        for(int j = 0 ; j <= x ; j++)
            m1.mat[i][j] = 1;
    }
    x = -1;
    for(int i = 26 ; i < N ; i++){
        x++;
        for(int j = x ; j < N ; j++)
            m1.mat[i][j] = 1;
    }
    // m2
    memset(m2.mat , 0 , sizeof(m2.mat));
    x = 24;
    for(int i = 0 ; i < 26 ; i++){
        x++;
        for(int j = 0 ; j <= x ; j++ )
            m2.mat[i][j] = 1;
    }
    x = 0;
    for(int i = 26 ; i < N ; i++){
        x++;
        for(int j = x ; j < N ; j++)
            m2.mat[i][j] = 1;
    }
}

int64 Pow(Matrix m , int n){
    Matrix ans;
    n--;
    memset(ans.mat , 0 , sizeof(ans.mat));
    for(int i = 0 ; i < N ; i++)
        ans.mat[i][i] = 1;
    while(n){
        if(n&1)
            ans = ans*m;
        n >>= 1;
        m = m*m;
    }
    int64 sum = 0;
    for(int i = 0 ; i < N ; i++){
        for(int j = 0 ; j < N ; j++){
            sum += ans.mat[i][j];
            sum %= MOD;
        }
    }
    return sum;
}

void solve(Matrix &m1 , Matrix &m2 , int n){
    int64 x = Pow(m1 , n);
    int64 y = Pow(m2 , n);
    printf("%lld\n" , (x-y+MOD)%MOD);
}

int main(){
    int cas , n;
    Matrix m1 , m2;
    init(m1 , m2);
    scanf("%d" , &cas);
    while(cas--){
        scanf("%d" , &n);
        solve(m1 , m2 , n);
    }
    return 0;
}