最大公约数的几种写法

特点及意义

最大公约数指某几个整数共有因子中最大的一个。

GCD即Greatest Common Divisor.

例如，12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数。

两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：

* 两数各分解质因子，然后取出同样有的项乘起来

* 辗转相除法（扩展版）

和最小公倍数（lcm）的关系：gcd(a, b)×lcm(a, b) = ab

两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。

两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律：

* gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))

* lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))

在坐标里，将点(0, 0)和(a, b)连起来，通过整数坐标的点的数目（除了(0, 0)一点之外）就是gcd(a, b)。

gcd递归定理及证明

gcd递归定理是指gcd(a,b)=gcd(b,a%b),其中%表示取余数。

证明如下：

我们只需证明gcd(a,b)和gcd(b,a%b)可以互相整除即可。

对于gcd(a,b)，它是a和b的线性组合中的最小正元素，gcd(b,a%b) 是b与a%b的一个线性组合，而a%b是a与b的一个线性组合，因而gcd(b,a%b)是一个a与b的线性组合，因为a,b都能被gcd(a,b)整除，因而任何一个a与b的线性组合都能被gcd(a,b)整除，所以gcd(b,a%b)能被gcd(a,b)整除。反之亦然。

// gcd.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//

#include "stdafx.h"

int gcd(int a ,int b)
{
	int c = 0;
	if (a < b)
	{
		c = a ;a = b; b= c;//把大的元素放在前面
	}

	for (;a - b >= 0 ;b = a - b,a = c)
	{
		if (a % b == 0)
		{
			return b;
		}
		c = b;

	}

}

unsigned int gcd(unsigned int a,unsigned int b)
{
	int r;
	while(b>0)
	{
		r=a%b;
		a=b;
		b=r;
	}
	return a;
}
unsigned int gcd1(unsigned int a,unsigned int b)
{
	while(b^=a^=b^=a%=b);
	return a;
}

unsigned int gcd2(unsigned int a,unsigned int b)
{
	return (b>0)?gcd(b,a%b):a;
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int b = gcd(4,12);
	return 0;
}