[3D基础]投影矩阵的推导(1)

转眼我做游戏行业已经八个月了，游戏行业入门门槛低，所以还算学习得比较轻松，总结了当初自己迷惑的几个知识点，本来想写出来给初学者解惑，无赖我是一个懒散的人，一直拖到现在，终于决心白纸黑字的搬到Blog上来，希望大家喜欢。

投影变换：我觉得这个是3D到2D变换中最让初学者头晕的问题，但又是最重要的。

请看上面这张我用爪子抓出来的图。这个坐标系是DX的左手坐标系，Y向上，X向右，Z向内，几何坐标已经经过了相机坐标系的变换，相机位置为（0，0，0），假设远裁减面距离为f，近裁减面距离为n，近裁减面左边为l,右边为r,上为t，下为b。要投影的2个顶点A和B坐标分别为A（Xa,Ya,Za）,B (Xb,Yb,Zb),现在我们要求他们的投影点坐标A0和B0，这里我以B点为例子，讲解投影最简单的几何知识。

首先我们来计算B0点的X坐标，（虚线都是辅助线），我们看三角形B C O和三角形B0 K O，利用初中几何知识可得他们是相似的，由相似三角形定理可知，B0 K = B C * （ n /　C O ）;而B C等于Xb， C O等于Zb；所以Xb0 = Xb * n / Zb; 同理Yb0 = Yb * n / Zb;我们知道DX把3D坐标映射到了一个X（-1，1） Y（-1，1） Z（0，1）的一个立方体内。那现在我们就需要对投影后的坐标进行一维映射了，（其实投影就是映射，数学形式为函数，将一个值域一一映射到另外一个值域），现在在X轴上，我们要把l - r这个值域中的值一一映射到-1 - 1之间，what should we do?很显然我们有一个等式　( x - l ) / ( r - l ) = ( x0 - ( -1) ) / ( 1 - ( -1 )); x是l - r之间的一个值，x0是-1 - 1之间的一个值，我们得到 x0 = (2x - ( r + l )) / ( r - l );这里的x换成Xb0得：x0 = (2n * Xb) / (Zb*( r - l )) - ( r + l )/( r - l );同理:y0 = (2n * Yb) / (Zb*( t - b )) - ( t + b )/( t - b ); Zb映射最简单，将n - f之间的值映射到0 - 1之间, z0 = Zb / ( f - n ) - n / ( f- n );现在我们把这些四则运算用矩阵形式来表示：

[x, y, z, 1] * [ 2n/(r-l)　　, 0　　　　　　　, 0　　　　　 　, 0 ]
　　　　　　　　　 [ 0,　　　　　　, 2n/(t-b)　 　, 0　　　　　　 , 0 ]
　　　　　　　　　 [ -(r+l)/(r-l), -(t+b)/(t-b), z/(f-n)　　, 1 ]
　　　　　　　　　[ 0,　　　　　 , 0　　　　　　　, -z*n/(f-n), 0 ]

得到的结构应该是[x0, y0, z0, w]->[x0/w, y0/w, z0/w, 1]

但为了3D引擎后期光栅化时方便的对中间象素的Z值进行线性插值，最好直接保存顶点的1/Z值，然后将1/Z嵌位到0~1之间。

[x, y, z, 1] * [ 2n/(r-l)　　, 0　　　　　　　 , 0　　　　 , 0 ]
　　　　　　　　　[0,　　　　　 , 2n/(t-b)　　, 0　　　　 , 0 ]
　　　　　　　　　 [ -(r+l)/(r-l), -(t+b)/(t-b), 0　　　　 , 1 ]
　　　　　　　　　 [ 0,　　　　　　, 0　　　　　　　 , 1　　　　 , 0 ]　　//直接保存1/Z

将1/Z嵌位到0~1之间(线形映射) z0 = (1/Bz - 1/n)/(1/f - 1/n); [1/n->0, 1/f->1]

转换先形式使矩阵理解更加明了：z0 = f/(f-n) - f*n/((f-n)*z)

[x, y, z, 1] * [ 2n/(r-l)　　, 0　　　　　　　, 0　　　　　　, 0 ]
　　　　　　　　　 [ 0,　　　　　　, 2n/(t-b)　　, 0　　　　　 　, 0 ]
　　　　　　　　　 [ -(r+l)/(r-l), -(t+b)/(t-b), f/(f-n)　　　, 1 ]
　　　　　　　　　 [ 0,　　　　　 , 0　　　　　　 　, -f*n/(f-n) , 0 ]

我看到实时计算机图形学上写出的答案与我推导出来的有点不一样，红色部分符号相反，颇为不解，不知道我错在哪里，希望明白的朋友指点迷津。