三种旋转
当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。
没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：
1、当前节点X是中树的根。
2、左树L保存小于X的节点。
3、右树R保存大于X的节点。
开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。
1、zig：
如上图，在搜索到X的时候，所查找的节点比X小，将Y旋转到中树的树根。旋转之后，X及其右子树被移动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，也就是X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大。
2、zig-zig:
在这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后Z绕Y右旋，最后将Z的右子树（此时Z的右子节点为Y）移动到右树中。注意右树中挂载点的位置。
3、zig-zag:
在这种情况中，首先将Y右旋到根。这和Zig的情况是一样的。然后变成上图右边所示的形状。接着，对Z进行左旋，将Y及其左子树移动到左树上。这样，这种情况就被分成了两个Zig情况。这样，在编程的时候就会简化，但是操作的数目增加（相当于两次Zig情况）。
最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：
将中树的左右子树分别连接到左树的右子树和右树的左子树上。将左右树作为X的左右子树。重新最成了一所查找的节点为根的树。
右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。 左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。
越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大；越是在路径前面移动到左树的节点，其值越小。
这很显然，右连接，将当前根以及右子树全部连接到右树，即把整课树中值大的一部分移走（大于等于当前根），
后面，在进行右连接，其值肯定小于之前的，所以，要加在右树的左边。
伸展树伪代码
右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。
左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。
T ： 当前的根节点。
Function Top-Down-Splay
Do
If X 小于 T Then
If X 等于 T 的左子结点 Then //zig
右连接
ElseIf X 小于 T 的左子结点 Then //zig-zig
T的左子节点绕T右旋
右连接
Else X大于 T 的左子结点 Then //zig-zag
右连接
左连接
EndIf
ElseIf X大于 T Then
IF X 等于 T 的右子结点 Then
左连接
ElseIf X 大于 T 的右子结点 Then
T的右子节点绕T左旋
左连接
Else X小于 T 的右子结点 Then
左连接
右连接
EndIf
EndIf
While ！(找到 X或遇到空节点)
组合左中右树
EndFunction
zig-zag这种情形，可以先按zig处理。第二次循环在进行一次处理。简化代码如下：
Function Top-Down-Splay
Do
If X 小于 T Then
If X 小于 T 的左孩子 Then
T的左子节点绕T右旋
EndIf
右连接
Else If X大于 T Then
If X 大于 T 的右孩子 Then
T的右子节点绕T左旋
EndIf
左连接
EndIf
While !(找到 X或遇到空节点)
组合左中右树
EndFuntion
例子
下面是一个查找节点19的例子：
在例子中，树中并没有节点19,最后，距离节点最近的节点18被旋转到了根作为新的根。节点20也是距离节点19最近的节点，但是节点20没有成为新根，这和节点20在原来树中的位置有关系。
如果查找的元素不在树中，则寻找过程中出现空的上一个节点即为根节点。
CPP代码
.h
struct SplayNode
{
int element;
SplayNode *left;
SplayNode *right;
};
class SplayTree
{
public:
SplayTree();
~SplayTree();
void Insert(int data);
void Remove(int data);
SplayNode *Find(int data);
private:
SplayNode *_tree;
SplayNode *_Insert(SplayNode *T, int item);
SplayNode *_Remove(SplayNode *T, int item);
SplayNode *_Splay(SplayNode *X, int Item);
SplayNode *_SingleToRight(SplayNode *K2);
SplayNode *_SingleToLeft(SplayNode *K2);
void _MakeEmpty(SplayNode *root);
};
.cpp
SplayTree::SplayTree()
{
_tree = NULL;
}
SplayTree::~SplayTree()
{
_MakeEmpty(_tree);
}
void SplayTree::Insert(int data)
{
_tree = _Insert(_tree, data);
}
void SplayTree::Remove(int data)
{
_tree = _Remove(_tree, data);
}
SplayNode *SplayTree::_SingleToRight(SplayNode *K2)
{
SplayNode *K1 = K2->left;
K2->left = K1->right;
K1->right = K2;
return K1;
}
SplayNode *SplayTree::_SingleToLeft(SplayNode *K2)
{
SplayNode *K1 = K2->right;
K2->right = K1->left;
K1->left = K2;
return K1;
}
SplayNode *SplayTree::_Splay(SplayNode *X, int item)
{
static struct SplayNode Header;
SplayNode *leftTreeMax, *rightTreeMin;
Header.left = Header.right = NULL;
leftTreeMax = rightTreeMin = &Header;
while( X != NULL && item != X->element)
{
if(item < X->element)
{
if(X->left == NULL)
break;
if(item < X->left->element)
{
X = _SingleToRight(X);
}
if( X->left == NULL)
break;
//右连接
rightTreeMin->left = X;
rightTreeMin = X;
X = X->left;
}
else
{
if(X->right == NULL)
break;
if(item > X->right->element)
{
X = _SingleToLeft(X);
}
if(X->right == NULL)
break;
//左连接
leftTreeMax->right = X;
leftTreeMax = X;
X = X->right;
}
}
leftTreeMax->right = X->left;
rightTreeMin->left = X->right;
X->left = Header.right;
X->right = Header.left;
return X;
}
SplayNode *SplayTree::_Insert(SplayNode *T, int item)
{
static SplayNode* newNode = NULL;
if(newNode == NULL)
{
newNode = new SplayNode;
}
newNode->element = item;
if(T == NULL)
{
newNode->left = newNode->right = NULL;
T = newNode;
}
else
{
T = _Splay(T, item);
if(item < T->element)
{
newNode->left = T->left;
newNode->right = T;
T->left = NULL;
T = newNode;
}
else if(T->element < item)
{
newNode->right = T->right;
newNode->left = T;
T->right = NULL;
T = newNode;
}
else
{
delete newNode;
}
}
newNode = NULL;
return T;
}
SplayNode *SplayTree::_Remove(SplayNode *T, int item)
{
SplayNode *newTree;
if(T != NULL)
{
T = _Splay(T, item);
if(item == T->element)
{
if(T->left == NULL)
{
newTree = T->right;
}
else
{
newTree = T->left;
newTree = _Splay(newTree, item);
newTree->right = T->right;
}
delete T;
T = newTree;
}
}
return T;
}
void SplayTree::_MakeEmpty(SplayNode *T)
{
if(T != NULL)
{
_MakeEmpty(T->left);
_MakeEmpty(T->right);
delete T;
}
}
SplayNode *SplayTree::Find(int data)
{
_tree = _Splay(_tree, data);
if(_tree->element == data)
return _tree;
else
return NULL;
}