我的Java开发学习之旅------>求N内所有的素数

一、素数的概念

质数（prime number）又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数（质数）整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。

根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2

二、算法

算法1. 

开根号法：如果一个数（>2），对这个数求平方根，如果这个数能被这个数的平方根到2之间的任何一个（只要有一个就行）整除说明就不是质数，如果不能就说明是质数！

原理：假如一个数N是合数，它有一个约数a,a×b=N，则a、b两个数中必有一个大于或等于根号N，一个小于或等于根号N。因此，只要小于或等于根号N的数（1除外）不能整除N，则N一定是素数。

	public void zhishu(int num) {
		int i, j, k;
		for (i = 2; i < num; i++) {
			k = (int) Math.sqrt(i);
			for (j = 2; j <= k; j++) {
				if(i%j==0){
					break;
				}
			}
			if (j>k) {
				System.out.println("素数： "+i);
			}
		}
	}

算法2.埃拉托斯特尼素数筛选法

要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于



的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。

给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......。

步骤

详细列出算法如下：

1. 列出2以后的所有序列：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2. 标出序列中的第一个素数，也就是2，序列变成：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
3. 将剩下序列中，划掉2的倍数，序列变成：
   • 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
4. 如果现在这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是素数，否则回到第二步。
5. 本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步：
6. 剩下的序列中第一个素数是3，将主序列中3的倍数划掉，主序列变成：
   • 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25
7. 我们得到的素数有：2，3
8. 25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步：
9. 现在序列中第一个素数是5，同样将序列中5的倍数划掉，主序列成了：
   • 2 3 5 7 11 13 17 19 23
10. 我们得到的素数有：2，3，5 。
11. 因为23小于5的平方，跳出循环.

结论：2到25之间的素数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23。

下面代码摘自网络

	public static void getPrimes(int n) {
		if (n < 2 || n > 9999999) // 之所以限制最大值为9999999万，是因为JVM内存限制，当然有其他灵活方案可以绕过（比如位图法）
			throw new IllegalArgumentException("输入参数n错误！");

		int[] array = new int[n]; // 假设初始所有数都是素数，且某个数是素数，则其值为0；比如第一个数为素数那么array[0]为0
		array[0] = 1; // 0不是素数
		array[1] = 1; // 1不是素数
		// 下面是筛选核心过程
		for (int i = 2; i < Math.sqrt(n); i++) { // 从最小素数2开始
			if (array[i] == 0) {
				for (int j = i * i; j < n; j += i) {
					array[j] = 1; // 标识该位置为非素数
				}
			}
		}

		// 打印n以内的所有素数，每排10个输出
		System.out.println(n + "以内的素数如下： ");
		int count = 0; // 当前已经输出的素数个数
		int rowLength = 10; // 每行输出的素数个数
		for (int i = 0; i < array.length; i++) {
			if (array[i] == 0) {
				if (count % rowLength == 0 && count != 0) {
					System.out.println();
				}
				count++;

				System.out.print(i + "\t");
			}
		}
	}

用以上两个算法求9999999的所有素数

开根号法用时：21507毫秒

埃拉托斯特尼素数筛选法用时： 6658毫秒

关于算法，以下几个用C实现的先mark下来。

http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3364131.html

超高速计算n以内素数个数（百亿内3毫秒解决）

http://blog.csdn.net/jianxia_wzx/article/details/8663759

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