文本比较算法Ⅰ——LD算法

　　在日常应用中，文本比较是一个比较常见的问题。文本比较算法也是一个老生常谈的话题。

　　文本比较的核心就是比较两个给定的文本（可以是字节流等）之间的差异。目前，主流的比较文本之间的差异主要有两大类。一类是基于编辑距离（Edit Distance）的，例如LD算法。一类是基于最长公共子串的（Longest Common Subsequence），例如Needleman/Wunsch算法等。

　　LD算法（Levenshtein Distance）又成为编辑距离算法（Edit Distance）。他是以字符串A通过插入字符、删除字符、替换字符变成另一个字符串B，那么操作的过程的次数表示两个字符串的差异。

　　例如：字符串A：kitten如何变成字符串B：sitting。

　　　　第一步：kitten——》sitten。k替换成s

　　　　第二步：sitten——》sittin。e替换成i

　　　　第三步：sittin——》sitting。在末尾插入g

　　故kitten和sitting的编辑距离为3

　　定义说明：

　　LD(A,B)表示字符串A和字符串B的编辑距离。很显然，若LD(A,B)=0表示字符串A和字符串B完全相同

　　Rev(A)表示反转字符串A

　　Len(A)表示字符串A的长度

　　A+B表示连接字符串A和字符串B

　　有下面几个性质：

　　LD(A,A)=0

　　LD(A,"")=Len(A)

　　LD(A,B)=LD(B,A)

　　0≤LD(A,B)≤Max(Len(A),Len(B))

　　LD(A,B)=LD(Rev(A),Rev(B))

　　LD(A+C,B+C)=LD(A,B)

　　LD(A+B,A+C)=LD(B,C)

　　LD(A,B)≤LD(A,C)+LD(B,C)（注：像不像“三角形，两边之和大于第三边”）

　　LD(A+C,B)≤LD(A,B)+LD(B,C)

　　为了讲解计算LD(A,B)，特给予以下几个定义

　　A=a₁a₂……a_N，表示A是由a₁a₂……a_N这N个字符组成，Len(A)=N

　　B=b₁b₂……b_M，表示B是由b₁b₂……b_M这M个字符组成，Len(B)=M

　　定义LD(i,j)=LD(a₁a₂……a_i,b₁b₂……b_j)，其中0≤i≤N，0≤j≤M

　　故：　　LD(N,M)=LD(A,B)

　　　　　　LD(0,0)=0

　　　　　　LD(0,j)=j

　　　　　　LD(i,0)=i

　　对于1≤i≤N，1≤j≤M，有公式一

　　若a_i=b_j，则LD(i,j)=LD(i-1,j-1)

　　若a_i≠b_j，则LD(i,j)=Min(LD(i-1,j-1),LD(i-1,j),LD(i,j-1))+1

　　举例说明：A=GGATCGA，B=GAATTCAGTTA，计算LD(A,B)

　　第一步：初始化LD矩阵　　

　　第二步：利用上述的公式一，计算第一行

　　第三步，利用上述的公示一，计算其余各行 

　　则LD(A,B)=LD(7,11)=5

　　下面是LD算法的代码，用的是VB2005。代码格式修正于2012年1月6日。

Public Class clsLD
　　Private Shared mA() As Char
　　Private Shared mB() As Char

　　Public Shared Function LD(ByVal A As String, ByVal B As String) As Integer

　　　　mA = A.ToCharArray
　　　　mB = B.ToCharArray

　　　　Dim L(A.Length, B.Length) As Integer
　　　　Dim i As Integer, j As Integer

　　　　For i = 1 To A.Length
　　　　　　L(i, 0) = i
　　　　Next
　　　　For j = 1 To B.Length
　　　　　　L(0, j) = j
　　　　Next

　　　　For i = 1 To A.Length
　　　　　　For j = 1 To B.Length
　　　　　　　　If mA(i - 1) = mB(j - 1) Then
　　　　　　　　　　L(i, j) = L(i - 1, j - 1)
　　　　　　　　Else
　　　　　　　　　　L(i, j) = Min(L(i - 1, j - 1), L(i - 1, j), L(i, j - 1)) + 1
　　　　　　　　End If
　　　　　　Next
　　　　Next

　　　　Return L(A.Length, B.Length)
　　End Function

　　Public Shared Function Min(ByVal A As Integer, ByVal B As Integer, ByVal C As Integer) As Integer
　　　　Dim I As Integer = A
　　　　If I > B Then I = B
　　　　If I > C Then I = C
　　　　Return I
　　End Function
End Class

　　这个LD算法时间复杂度为O(MN)，空间复杂度为O(MN)，如果进行优化的话，空间复杂度可以为O(M)，优化的代码这里不再详述了。参看“计算字符串的相似度（VB2005）”

　　我们往往不仅仅是计算出字符串A和字符串B的编辑距离，还要能得出他们的匹配结果。

　　以上面为例A=GGATCGA，B=GAATTCAGTTA，LD(A,B)=5

　　他们的匹配为：

　　　　A：GGA_TC_G__A

　　　　B：GAATTCAGTTA

　　如上面所示，蓝色表示完全匹配，黑色表示编辑操作，_表示插入字符或者是删除字符操作。如上面所示，黑色字符有5个，表示编辑距离为5。

　　利用上面的LD矩阵，通过回溯，能找到匹配字串

　　第一步：定位在矩阵的右下角　　

　　第二步：回溯单元格，至矩阵的左上角

　　　　若a_i=b_j，则回溯到左上角单元格

　　　　若a_i≠b_j，回溯到左上角、上边、左边中值最小的单元格，若有相同最小值的单元格，优先级按照左上角、上边、左边的顺序

　　　　若当前单元格是在矩阵的第一行，则回溯至左边的单元格

　　　　若当前单元格是在矩阵的第一列，则回溯至上边的单元格

　　　　依照上面的回溯法则，回溯到矩阵的左上角

　　第三步：根据回溯路径，写出匹配字串

　　　　若回溯到左上角单元格，将a_i添加到匹配字串A，将b_j添加到匹配字串B

　　　　若回溯到上边单元格，将a_i添加到匹配字串A，将_添加到匹配字串B

　　　　若回溯到左边单元格，将_添加到匹配字串A，将b_j添加到匹配字串B

　　　　搜索晚整个匹配路径，匹配字串也就完成了

　　从上面可以看出，LD算法在不需要计算出匹配字串的话，时间复杂度为O(MN)，空间复杂度经优化后为O(M)

　　不过，如果要计算匹配字符串的话，时间复杂度为O(MN)，空间复杂度由于需要利用LD矩阵计算匹配路径，故空间复杂度仍然为O(MN)。这个在两个字符串都比较短小的情况下，能获得不错的性能。不过，如果字符串比较长的情况下，就需要极大的空间存放矩阵。例如：两个字符串都是20000字符，则LD矩阵的大小为20000*20000*2=800000000Byte=800MB。呵呵，这是什么概念？故，在比较长字符串的时候，还有其他性能更好的算法。留待后文详述。