1.4 波动率建模
正如我们之前所见，ARIMA模型常常用于过程的过去值已知时的条件期望建模。过去值已知的过程的条件方差是常数。真实世界的金融时间序列存在着波动性聚集和其他特点，换句话说，突发波动率打破了相对稳定的时期。
在这一节中，我们来考查GARCH时间序列模型。GARCH模型研究真实世界的（金融）时间序列的这个典型化事实——波动性聚集，并进一步运用这些模型预测在险价值（Value at Risk，VaR）。
1.4.1 风险管理的波动率预测
金融机构使用VaR来度量他们的活动风险，通常在10个工作日范围内计算置信水平为99%的临界值。这意味着在这10天内，只有1%的时间会出现预期损失超过临界值。
我们载入zoo包并导入英特尔公司的月收益率数据，时间范围从1973年1月～2008年12月。
> library("zoo")
> intc <- read.zoo("intc.csv", header = TRUE,
+ sep = ",", format = "%Y-%m", FUN = as.yearmon)
1.4.2 检验ARCH效应
收益率图形表明，在月收益率数据中可能存在ARCH效应。
> plot(intc, main = "Monthly returns of Intel Corporation",
+ xlab = "Date", ylab = "Return in percent")
上面命令的输出在图1-3中显示。
我们可以使用统计假设检验来验证自己的想法。两种常用检验如下。
用于平方收益率（波动率的一种代理）自相关的Ljung-Box检验。
Engle（1982年）提出的拉格朗日乘子（LM）检验。
首先，我们运行下面的命令，从而在平方收益率的前12阶滞后值上执行Ljung-Box检验。
> Box.test(coredata(intc^2), type = "Ljung-Box", lag = 12)
Box-Ljung test
data: coredata(intc^2)
X-squared = 79.3451, df = 12, p-value = 5.502e-12
我们可以在1%的置信水平上拒绝原假设，原假设是平方收益率中不存在自相关。或者，我们可以使用FinTS包的LM检验，它输出相同的结果。
> install.packages("FinTS")
> library("FinTS")
> ArchTest(coredata(intc))
ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
data: coredata(intc)
Chi-squared = 59.3647, df = 12, p-value = 2.946e-08
两种检验都确定了英特尔的月收益率中存在ARCH效应。因此，收益率时间序列的建模应该使用ARCH或GARCH模型。
1.4.3 GARCH模型设定
GARCH（1,1）模型是GARCH模型中最常用的一种，也是一种最适于金融时间序列建模的模型。我们使用rugarch包提供的函数来设定模型、估计参数、回测以及预测。如果你还没有安装这个包，运行下面的命令。
> install.packages("rugarch")
然后，我们可以运行下面的命令来载入这个包。
> library("rugarch")
首先，我们需要使用函数ugarchspec设定模型。对于一个GARCH（1,1）模型，我们需要设置garchOrder为c(1,1)。而且均值模型（mean.model）是一个白噪声过程，因此等同于armaOrder = c(0,0)。
> intc_garch11_spec <- ugarchspec(variance.model = list(
+ garchOrder = c(1, 1)),
+ mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)))
1.4.4 GARCH模型估计
通过ugarchfit函数设定模型，输入为收益率数据，就可以用极大似然方法精确拟合模型的系数。
> intc_garch11_fit <- ugarchfit(spec = intc_garch11_spec,
+ data = intc)
其他参数的使用请参见ugarchfit的帮助文档。拟合模型的输出（使用命令intc_garch11_fit）展示了有用信息，比如最优参数值、对数似然函数值，以及信息准则。
1.4.5 回测风险模型
检验模型表现的有效方法是历史回测。在回测风险模型时，我们对比整个时期的真实收益率和估计的VaR。如果收益率比VaR损失更大，我们得到一次VaR突破（VaR exceedance）。在我们的例子中，一次VaR突破应该仅仅发生在1%的情形中（因为我们设定了置信区间为99%）。
函数ugarchroll对一个设定的GARCH模型（在这里，这个模型是intc_garch11_spec）执行历史回测。我们指定回测如下。
使用的收益率数据存储在zoo对象intc中。
回测的起始期（n.start）应该是序列开始（就是1983年1月）时的前120个月。
每月都需要重新估计模型（refit.every = 1）。
我们使用移动（moving）窗口来估计。
我们使用一个混合（hybrid）的解决方法。
我们希望计算VAR在99%的尾部置信水平上（VaR.alpha = 0.01）的临界值（calculate.VaR = TRUE）。
我们希望保留估计的系数（keep.coef = TRUE）。
下面的命令显示了满足上述所有要求的回测。
> intc_garch11_roll <- ugarchroll(intc_garch11_spec, intc,
+ n.start = 120, refit.every = 1, refit.window = "moving",
+ solver = "hybrid", calculate.VaR = TRUE, VaR.alpha = 0.01,
+ keep.coef = TRUE)
我们可以使用report函数检查回测报告。通过把这个参数的type参数设定为VaR，这个函数对突破值执行无条件和有条件覆盖检验。VaR.alpha是尾部概率，conf.level是置信区间，条件覆盖的假设检验基于此建立。
> report(intc_garch11_roll, type = "VaR", VaR.alpha = 0.01,
+conf.level = 0.99)
VaR Backtest Report
===========================================
Model: sGARCH-norm
Backtest Length: 312
Data:
==========================================
alpha: 1%
Expected Exceed: 3.1
Actual VaR Exceed: 5
Actual %: 1.6%
Unconditional Coverage (Kupiec)
Null-Hypothesis: Correct Exceedances
LR.uc Statistic: 0.968
LR.uc Critical: 6.635
LR.uc p-value: 0.325
Reject Null: NO
Conditional Coverage (Christoffersen)
Null-Hypothesis: Correct Exceedances and
Independence of Failures
LR.cc Statistic: 1.131
LR.cc Critical: 9.21
LR.cc p-value: 0.568
Reject Null: O
Kupiec的无条件覆盖方法比较了给定VaR尾部概率时，预期突破值数目和实际突破值数目，而Christoffersen检验方法则是一种对无条件覆盖和突破值的独立性的联合检验。在我们的例子中，尽管预期突破有3次但实际发生了5次，我们不能拒绝突破是正确并且独立的原假设。
回测表现的图形也很容易生成。首先，使用ugarchroll对象的精确预测VaR创建一个zoo对象。
> intc_VaR <- zoo(intc_garch11_roll@forecast$VaR[, 1])
我们仍然使用这个“zoo”对象，通过rownames（年和月）重写这个对象的index属性。
> index(intc_VaR) <- as.yearmon(rownames(intc_garch11_roll@forecast$VaR))
对同时存储在ugarchroll对象中的真实收益率，我们加以同样的处理。
> intc_actual <- zoo(intc_garch11_roll@forecast$VaR[, 2])
> index(intc_actual) <-
as.yearmon(rownames(intc_garch11_roll@forecast$VaR))
现在，我们可以使用下面的命令，画出VaR对比英特尔真实收益率的图形。
> plot(intc_actual, type = "b", main = "99% 1 Month VaR Backtesting",
+ xlab = "Date", ylab = "Return/VaR in percent")
> lines(intc_VaR, col = "red")
> legend("topright", inset=.05, c("Intel return","VaR"), col =
c("black","red"), lty = c(1,1))
图1-4中显示了上述命令行的输出。
1.4.6 预测
我们现在有理由相信风险模型运行正常，我们也可以生成VaR预测。函数ugarchforecast选取以下两个参数，一个是拟合的GARCH函数（intc_garch11_fit），另一个是应该产生预测的周期数（n.ahead = 12，即12个月）。
> intc_garch11_fcst <- ugarchforecast(intc_garch11_fit, n.ahead = 12)
我们可以通过查询以下命令行显示的预测对象，来预期未来结果。
> intc_garch11_fcst
*------------------------------------*
* GARCH Model Forecast *
*------------------------------------*
Model: sGARCH
Horizon: 12
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0
0-roll forecast [T0=Dec 2008]:
Series Sigma
T+1 0.01911 0.1168
T+2 0.01911 0.1172
T+3 0.01911 0.1177
T+4 0.01911 0.1181
T+5 0.01911 0.1184
T+6 0.01911 0.1188
T+7 0.01911 0.1191
T+8 0.01911 0.1194
T+9 0.01911 0.1197
T+10 0.01911 0.1200
T+11 0.01911 0.1202
T+12 0.01911 0.1204
波动率（sigma）的一步预期是0.1168。因为我们假定了正态分布，置信水平为99%的VaR可以使用标准正态分布的99%分位数（输入qnorm(0.99)）来计算。因此对下一个周期，一个月的99%VaR就是qnorm(0.99)*0.1168 =0.2717。结果，月收益率高于−27%的概率是99%。