宁波大学2014年数学分析考研试题

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$    解答: 用 $-f$ 代替 $f$, 而不妨设 $$\bex \exists\ c\in (0,1),\st 0<f(c)=\max_{x\in [0,1]}|f(x)|

(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]特征多项式的互素分解) 设 $f(x)$ 为 ${\bf A}$ 的特征多项式, 且存在互素的次数分别为 $p,q$ 的多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$. 求证: $$\bex \rank g({\bf A})=q,\quad \rank h({\bf A})=p. \eex$$ 证明: 设 $$\bex g(x)=\prod_{i=1}^s (\lm

2017年北京大学硕士研究生数学分析真题 1.(10分) 证明:$$\lim_{n \to +\infty }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^nx}{\sqrt{\pi -2x}}dx=0.$$ 2.(10分) 证明:$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+nx^2}\sin \frac{x}{n^\alpha }$在任何有限区间上一致收敛的充要条件是:$\alpha > \frac{1}{2}$. 3.(10分) 设$\sum_

本文来自TangSong.   1.($15'$) 用开覆盖定理证明闭区间上连续函数必一致连续. 2.$(15')$ $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的实函数.叙述关于Riemann和 \[\sum_{k=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})\] 的Cauchy准则 (不用证明) 并用你叙述的Cauchy准则证明闭区间上的单调函数可积. 3.$(15')$ $(a,b)$ 上的连续函数 $f(x)$ 有反函数. 证明反函数连续. 4.$(15')$ $f(x_1,x_2,x_3)

来源 [尊重原有作者劳动成果]   一. (1)证明:由于${{x}_{1}}\in (0,\frac{\pi }{2}),{{x}_{n+1}}=\sin {{x}_{n}}$,则${{x}_{n}}\in (0,\frac{\pi }{2}),n=1,2,\cdots $ 且${{x}_{n+1}}=\sin {{x}_{n}}\le {{x}_{n}}$ 于是$\{{{x}_{n}}\}$单调递减且${{x}_{n}}\in (0,\frac{\pi }{2})$ 由单调有界原理可知:$\

    1. 计算 $$\bex \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\int_0^x e^{-t^2}\rd t-x}{\sin x-x}. \eex$$     2. 讨论广义积分 $\dps{\int_1^\infty \sez{\ln \sex{1+\dfrac{1}{x}}-\sin \dfrac{1}{x}}}$ 的敛散性.     3. 函数 $$\bex f(x,y)=\sedd{\ba{ll} \sex{1-\cos \dfrac{x^2}{y}}\sqrt{x^2+y