3. 函数在 $\infty$ 的留数
(1) 定义: 设 $\infty$ 为 $f$ 的孤立奇点, 则称 $$\bex \cfrac{1}{2\pi i}\int_{\vGa^-}f(z)\rd z\quad (\vGa:\ |z|=\rho) \eex$$ 为 $f$ 在 $\infty$ 的留数, 记作 $\dps{\underset{z=\infty}{\Res}f(z)}$.
(2) 若 $f$ 在 $r<|z|<\infty$ 内有 Laurent 展式 $$\bex f(z)=\cdots+\cfrac{c_{-n}}{z^n}+\cdots+\cfrac{c_{-1}}{z}+c_0+c_1z+\cdots +c_nz^n+\cdots, \eex$$ 则 $\dps{\underset{z=\infty}{\Res}f(z)=-c_{-1}}$.
(3) 计算
a. 用 Cauchy 留数定理: $$\bex \underset{z=\infty}{\Res}f(z) =-\sum_{k=1}^n \underset{z=a_k}{\Res}f(z). \eex$$
b. 转换为在零点的留数: $$\beex \bea \underset{z=\infty}{\Res}f(z) &=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{\vGa^-}f(z)\rd z\\ &=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{\sev{\zeta}=\cfrac{1}{\rho}} f\sex{\cfrac{1}{\zeta}}\sex{-\cfrac{1}{\zeta^2}}\rd \zeta\quad \sex{\zeta=\cfrac{1}{z}: z=\rho e^{i\tt}\ra \zeta=\cfrac{1}{\rho} e^{-i\tt}}\\ &=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta|=\cfrac{1}{\rho}} f\sex{\cfrac{1}{\zeta}}\sex{-\cfrac{1}{\zeta^2}}\rd \zeta\\ &=\underset{\zeta=0}{\Res}\sez{f\sex{\cfrac{1}{\zeta}}\sex{-\cfrac{1}{\zeta^2}}}. \eea \eeex$$
(4) 例: 求 $\dps{I=\int_{|z|=4}\cfrac{z^{15}}{(z^2+1)^2(z^4+2)^3}\rd z}$.
6. 2 用留数计算实积分
1. $\dps{I=\int_0^{2\pi}R(\cos \tt,\sin\tt)\rd \tt}$ 型 ($R$: 有理函数).
(1) 数分: 用万能代换 $\tan \cfrac{\tt}{2}=x\ra \sin\tt=\cfrac{2x}{1+x^2}, \cos\tt=\cfrac{1-x^2}{1+x^2},\ \rd \tt=\cdots$.
(2) 复变: $z=e^{i\tt}\ra \cos\tt=\cfrac{z+z^{-1}}{2},\ \sin\tt=\cfrac{z-z^{-1}}{2i},\ \rd \tt=\cfrac{\rd z}{iz}$, 而 $$\bex I=\int_{|z|=1}R\sex{\cfrac{z+z^{-1}}{2},\cfrac{z-z^{-1}}{2i}}\cfrac{\rd z}{iz}. \eex$$
(3) 例: 求 $\dps{I=\int_0^{2\pi}\cfrac{\rd \tt}{1-2p\cos\tt+p^2}}$, ($p\neq 0$, $p\neq \pm 1$).
作业: P 262-263 T 1 (1) (3) , T 4 (1) .