1 (10 分) 设 $\mathcal{X}$ 是 Banach 空间, $f$ 是 $\mathcal{X}$ 上的线性泛函. 求证: $f\in \mathcal{L}(\mathcal{X})$ 的充分必要条件是 \[ N(f)=\{ x\in \mathcal{X};\ f(x)=0 \} \] 是 $\mathcal{X}$ 的闭线性子空间.
证明: 参见书 P 82 T 2.1.7(3).
2 (10 分) 设 $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $l$ 为 $\mathcal{H}$ 上的一实值线性有界泛函, $C$ 是 $\mathcal{H}$ 中一闭凸子集, \[ f(v)=\frac{1}{2}||v||^2-l(v)\quad(\forall\ v\in C). \] 求证:
(1)$\exists\ u^*\in \mathcal{H}$, 使得 \[ f(v)=\frac{1}{2}||v-u^*||^2-\frac{1}{2}||u^*||^2\quad (\forall\ v\in C); \]
(2) $\exists\ |\ u_0\in C$, 使得 \[ f(u_0)=\inf_{v\in C}f(v). \]
证明: 参见书 P 87 T 2.2.2.
3 (15 分) 设 $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $A\in \mathcal{L}(\mathcal{H})$, 并且 $\exists\ m>0$, 使得 \[ |(Ax,x)|\geq m||x||^2\quad(\forall\ x\in \mathcal{H}). \] 求证: $A^{-1}$ 存在且 $A^{-1}\in \mathcal{L}(\mathcal{H})$.
证明: 参见书 P 103 T 2.3.3.
4 (10 分) 设 $\mathcal{X}$ 是赋范线性空间, $\{x_1,\cdots,x_n\}$ 是 $n$ 个线性无关元. 求证: $\exists\ \{f_1,\cdots,f_n\}$ 使得 \[ <f_i,x_j>=\delta_{ij}\quad(\forall\ i,j=1,\cdots,n). \]
证明: 参见书 P 124 T 2.4.7.
5 (10 分) 设 $\mathcal{X}$ 是复赋范线性空间, $E\subset \mathcal{X}$ 是非空的均衡闭凸集. 求证: $\exists\ f\in \mathcal{X}^*$, 使得 \[ \sup_{x\in E}|f(x)|<|f(x_0)|. \]
证明: 参见书 P 124 T 2.4.10.
6 (10 分) 设 $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $T\in \mathcal{L}(\mathcal{H})$ 满足 $||T||\leq 1$. 证明: $Tx=x$ 的充分必要条件是 $T^*x=x$.
证明: 仅证必要性, 充分性类似可证. 由 $Tx=x$ 及 $||T||\leq 1$ 知 \[ ||T||=1, \] 而 \[ ||T^*||=||T||=1. \] 于是 \begin{eqnarray*} ||T^*x-x||^2 &=&(T^*x-x,T^*x-x)\\ &=&||T^*x||^2-(T^*x,x)-(x,T^*x)+||x||^2\\ &=&||T^*x||^2-(x,Tx)-(Tx,x)+||x||^2\\ &=&||T^*x||^2-||x||^2\quad(\mbox{由 } Tx=x)\\ &\leq& ||T^*||^2\cdot ||x||^2-||x||^2\\ &=&0\quad(\mbox{由 } ||T^*||=1). \end{eqnarray*}}
7 (15 分) 设 $\mathcal{H}$ 是 Hilbert 空间, $T:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 是线性算子且满足 \[ (Tx,y)=(x,Ty)\quad (\forall\ x,y\in \mathcal{H}). \] 求证:
(1) $T\in \mathcal{L}(\mathcal{H})$;
(2)$T^*=T$, 此时称 $T$ 为自共轭算子;
(3)若 $\overline{R(A)}=\mathcal{H}$, 则对 $\forall\ y\in R(A)$, 方程 \[ Ax=y \] 存在唯一解.
证明:
(1)往证 $T$ 是闭算子, 而由 $D(T)=\mathcal{H}$ 及闭图像定理知 $T\in \mathcal{L}(\mathcal{H})$. 事实上, 设 $\mathcal{H}\ni x_n\to x,\ Tx_n\to y$, 则于 \[ (Tx_n,z)=(x_n,z)\quad (\forall\ z\in \mathcal{H}) \] 中令 $n\to\infty$,有 \[ (y,z)=(x,Tz)=(Tx,z)\quad(\forall\ z\in \mathcal{H}). \] 于是 \[ y=Tx. \]
(2)参见书 P 151 T 2.5.9(1).
(3)参见书 P 151 T 2.5.9(2).
8 (10 分) 设 $\varphi\in C[0,1]$, $T:\ L^2[0,1]\to L^2[0,1]$ 是由 \[ (Tf)(x)=\varphi(x)\int_0^1\varphi(t)f(t)\ dt\quad(\forall\ f\in L^2[0,1]) \] 给出的线性算子. 求证:
(1)$T$ 是自共轭算子 (定义见题7);
(2)$\exists\ \lambda\geq 0$, 使得 $T^2=\lambda T$, 由此求出 $T$ 的谱半径 $r_\sigma(T)$.
证明:
(1)对 $\forall\ f,\ g\in L^2[0,1]$, 由 \begin{eqnarray*} (Tf,g) &=&\int_0^1 [ \varphi(x)\int_0^1 \varphi(t)f(t)\ dt ]\cdot g(x)\ dx\\ &=&\int_0^1 \varphi(t)f(t)\ dt \cdot \int_0^1 \varphi(x)g(x)\ dx\\ &=&\int_0^1 \varphi(x)f(x)\ dx \cdot \int_0^1 \varphi(t)g(t)\ dt\\ &=&\int_0^1 f(x)\cdot [\varphi(x)\int_0^1 \varphi(t)g(t)\ dt]\ dx\\ &=&(f,Tg) \end{eqnarray*} 知 $T^*=T$, 而 $T$ 为自共轭算子.
(2)由 \begin{eqnarray*} (T^2f)(x) &=&[T(Tf)](x)\\ &=&\varphi(x)\int_0^1 \varphi(t)(Tf)(t)\ dt\\ &=&\varphi(x) \int_0^1 [ \varphi(t) \cdot \varphi(t) \int_0^1 \varphi(s)f(s)\ ds ]\ dt\\ &=&\int_0^1 \varphi^2(t)dt\cdot \varphi(x)\int_0^1 \varphi(s)f(s)\ ds\\ &=&\int_0^1 \varphi^2(t)dt\cdot (Tf)(x)\quad (\forall\ f\in L^2[0,1]) \end{eqnarray*} 知 \[ T^2=\lambda T, \] 其中 \[ \lambda=\int_0^1 \varphi^2(t)dt. \] 由数学归纳法易知 \[ T^n=\lambda^{n-1}T\quad(n\geq 1), \] 而 $T$ 的谱半径 \[ r_\sigma(T)=\lim_{n\to\infty}||T^n||^\frac{1}{n} =\lim_{n\to\infty} \lambda^\frac{n-1}{n}||T||^\frac{1}{n} =\lambda =\int_0^1 \varphi^2(t)dt. \] 倒数第二个等号是因为若 $\varphi\equiv 0$, 则 $\lambda=0$, $T=0$; 若 $\varphi\not\equiv 0$, 则 $||T||\neq 0$.
9 (10 分) 设 $C[0,1]$ 是连续函数空间, 赋以最大值范数 \[ ||x||_\infty =\max _{t\in [0,1]} |x(t)|\quad (\forall\ x\in C[0,1]). \] 求证: 在 $C[0,1]$ 中, $x_n\rightharpoonup x_0$ 的充分必要条件是 \[ \lim_{n\to\infty}x_n(t)=x_0(t),\quad \forall\ t\in [0,1]\cap \mathbb{Q}, \] 且 \[ \sup_{n\geq 1}||x_n||_\infty<\infty. \]
证明: 必要性. 对 $\forall\ t\in [0,1]\cap \mathbb{Q}$, 易知 \[ f_t:\ C[0,1]\ni x\mapsto x(t) \] 是 $C[0,1]$ 上的有界线性泛函, 而 \[ \lim_{n\to\infty}x_n(t) =\lim_{n\to\infty}f_t(x_n) =f_t(x_0)=x_0(t). \] 再把 $x_n$ 看成 $C[0,1]^{**}$ 中的元素, 由共鸣定理, \[ \sup_{n\geq 1}||x_n||_\infty<\infty. \] 充分性. 由于 $C[0,1]$ 的共轭空间是 \[ BV[0,1] =\{ g:[0,1]\to \mathbb{C};\ {g(t)=g(t+0)\ (\forall\ t\in [0,1)),\atop g(0)=0,\ var(g)<\infty} \} \] (参见书 P 129 例 2.5.3), 且对 $\forall\ F\in C[0,1]^*$ 有表示 \[ F(x)=\int_0^1 x(t)dg(t)\quad (\forall\ x\in C[0,1]). \] 由充分性的假设及 Lebesgue 控制收敛定理, \[ \lim_{n\to\infty}F(x_n) =\lim_{n\to\infty}\int_0^1 x_n(t)dg(t) =\int_0^1 x_0(t)dg(t) =F(x_0). \]
应老师要求, 修改了[家里蹲大学数学杂志]第036期泛函分析期末试题, 而得到了本文, 并给出了参考解答.