[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 积分不等式 [中国科学技术大学2013年高等数学B 考研试题])

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一阶连续可导, $f(a)=0$. 证明: $$\bex \int_a^b f^2(x)\rd x\leq \cfrac{(b-a)^2}{2}\int_a^b [f'(x)]^2\rd x -\cfrac{1}{2}\int_a^b [f'(x)]^2 (x-a)^2\rd x. \eex$$

 

证明: $$\beex \bea \int_a^b f^2(x)\rd x &=\int_a^b \sez{\int_a^xf'(t)\rd t}^2\rd x\\ &\leq \int_a^b \sez{ \int_a^x f'^2(t)\rd t \cdot \int_a^x 1^2\rd t }\rd x\\ &=\int_a^b \int_a^x (x-a)f'^2(t)\rd t\rd x\\ &=\int_a^b \int_t^b (x-a)f'^2(t)\rd x\rd t\\ &=\int_a^b f'^2(t)\int_t^b (x-a)\rd x\rd t\\ &=\int_a^b f'^2(t)\cfrac{(b-a)^2-(t-a)^2}{2}\rd t. \eea \eeex$$ 

时间： 2024-10-01 15:40:37

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再寄小读者之数学篇

此栏目主要用于回答一些同学.学生.网友的数学问题, 自己整理的一些内容. 有些已给出解答, 有一些没有 (可能懒得写, 也可能确实不知道), 如您知道, 欢迎告知 (可以是tex编辑, mathtype编辑, word编辑, pdf编辑, 可写上您的大名或者笔名, 我会放到相应位置去). 如您需要 pdf 文件, 请通过支付宝购买 (打款至 zhangzujin361@163.com,在付款说明中注明你所需要的哪一期), 一般1-2日内发货 (节假日除外), 价格为: ($5\times 2=1

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