一.问题描述
亚洲微软研究院所在的希格玛大厦一共有6部电梯。在高峰时间，每层都有人上下，电梯每层都停。实习生小飞常常会被每层都停的电梯弄的很不耐烦，于是他提出了这样一个办法： 由于楼层并不算太高，那么在繁忙的上下班时间，每次电梯从一层往上走时，我们只允许电梯停在其中的某一层。所有乘客从一楼上电梯，到达某层后，电梯停下来，所有乘客再从这里爬楼梯到自己的目的层。在一楼的时候，每个乘客选择自己的目的层，电梯则计算出应停的楼层。
问：电梯停在哪一层楼，能够保证这次乘坐电梯的所有乘客爬楼梯的层数之和最少？
二.算法描述
方法一：暴力枚举，时间复杂度O(N^2)
1 /*
2 * O(N^2)
3 */
4 const int N = 5;
5 int num[N+1];
6 int ans;
7 int min = INT_MAX;
8
9 for(i = 1;i<=N;i++)
10 {
11 int sum = 0;
12 for(j = 1;j<=N;j++)
13 {
14 sum += num[j] * abs(j - i);
15 }
16 if(sum < min)
17 {
18 min = sum;
19 ans = i;
20 }
21 return (ans);
22 }
方法二：书上提供的O(N)的动态规划的算法。
假设电梯停在i层楼，可以计算出所有乘客要爬楼层的层数为Y,假设此时有N1个乘客在i层楼以下，N2个乘客在I层楼，N3个乘客在I层楼以上，则当电梯停在i+1层的时候，N1+N2个乘客要多下一层楼，共多下N1+N2层，N3个乘客要少往上面爬一层楼，少上N3层楼，此时Y(i+1) = Y(i) + N1+N2-N3，很显然，当N1+N2<N3的时候，Y不断减小。Y1很容易算出来，另外我们还可以看出，N1+N2是递增的，N3是递减的，所以N1+N2一旦大于N3的时候，我们直接退出循环即可，没有必要再计算下去了。
1 /*
2 O(N) dp
3 */
4 #include <iostream>
5 #include <cstring>
6 using namespace std;
7
8 const int N = 5;
9 int num[N+1];
10
11 int solve()
12 {
13 int ans = 1;
14 int min = 0;
15 int N1 = 0,N2 = num[1],N3 = 0;
16 for(int i = 2;i<=N;i++)
17 {
18 //由于只要最小值即可，所以不必用数组保存；使用数组时不用知道N1+N2 < N3)就行
19 min += num[i] * (i-1);
20 N3 +=num[i];
21 }
22
23 for(int i = 2;i<=N;i++)
24 {
25 if(N1+N2 < N3)
26 {
27 ans = i;
28 min +=(N1+N2-N3);
29
30 N1 +=N2;
31 N2 = num[i];
32 N3 -=num[i];
33 }
34 else
35 break;
36 }
37 return ans;
38 }
39
40 int main()
41 {
42 int i,j,k;
43 num[1] = 6;
44 num[2] = 2;
45 num[3] = 4;
46 num[4] = 9;
47 num[5] = 8;
48 int ans = solve();
49 cout<<ans<<endl;
50 while(1);
51 return 0;
52 }
53
方法三：中位数
其实这道题目仔细分析起来就是求一组数据的中位数而已。假设两人，分别到3层楼和8层楼下，在3和8之间取一点，使得到两个点距离最小，很显然，在3和8中的每一点到3和8的距离之和都是相等的。推广到2 3
5 5 6 7 8 8 9这样一组数据，ans为中位数。
数组a存储下标，数组b存储相应人数，按b从小到大排序并交换a（或者用结构体），最后的中位数是不对的
1 /*
2 * mid_value
3 */
4 // 这种方法貌似是对的
5 #include <iostream>
6 #include <cstring>
7 using namespace std;
8
9 const int N = 5;
10 int num[N+1];
11
12 int solve()
13 {
14 int left = 1,right = N;
15 while(right-left >= 1)
16 {
17 while(num[left] == 0)left++;
18 num[left] --;
19 while(num[right] == 0)right--;
20 num[right] --;
21 }
22 return left;
23 }
24
25 int main()
26 {
27 int i,j,k;
28 num[1] = 6;
29 num[2] = 2;
30 num[3] = 4;
31 num[4] = 9;
32 num[5] = 8;
33 int ans = solve();
34 cout<<ans<<endl;
35 while(1);
36 return 0;
37 }
三.结束语
扩展问题:往上爬一层要耗费K个单位的能量，往下走耗费1个单位的能亮，只需要计算N1+N2-N3变成N1+N2-N3*K即可。其余的都是一样的。
扩展问题:2个有序数组求合并后的中位数，貌似是算法导论上的，有空再写……
你让我安心什么什么，说话却吞吞吐吐，岂非存心让我不安